Katalog przedmiotów

Algebra

Cele
Omówienie i nauczenie stosowania praw logiki, przedstawienie teorii liczb zespolonych. Zapoznanie studentów z algorytmami algebry liniowej, przede wszystkim z rozwiązywaniem układów równań liniowych i z algebrą macierzy (w tym poszukiwaniem wektorów własnych). Głębsza analiza omawianych algorytmów algebry liniowej.

Zakres
Zdania, funkcje zdaniowe, prawdziwość i fałszywość. Spójniki zdaniowe (alternatywa, koniunkcja, implikacja, równoważność, dysjunkcja). Tautologie. Kwantyfikatory: ogólny i szczegółowy. Prawa rachunku kwantyfikatorów. Reguły zaprzeczania alternatywy, koniunkcji, implikacji i kwantyfikatorów (temat ten należy traktować jako przypomnienie i rozszerzenie wiadomości, jakie mają absolwenci szkół ponadgimnazjalnych - niekoniecznie z rozszerzonym programem matematyki). Zbiory. Należenie elementu do zbioru i inkluzja. Suma, iloczyn, iloczyn kartezjański. Liczba elementów w iloczynie kartezjańskim zbiorów skończonych. Płaszczyzna i przestrzeń R3 jako iloczyny kartezjańskie. Różne metody przeliczania iloczynu kartezjańskiego zbiorów skończonych. Podstawowe prawa rachunku zbiorów: łączność dodawania i mnożenia, przemienność, rozdzielność. Wzory DeMorgana. Przeliczalność zbioru liczb wymiernych. Informacja o zbiorach nieprzeliczalnych. Reguły wnioskowania: reguła odrywania, sylogizmy. Reguła Claviusa. Dowody nie wprost, zwrócenie uwagi na dowody konstruktywne i niekonstruktywne. Kwadrat logiczny twierdzeń. Symbolika matematyczna dotycząca sum i iloczynów. Indukcja matematyczna. Rekursja. Przykłady rozumowań indukcyjnych i algorytmów indukcyjnych oraz z użyciem rekursji (np. silnia, liczby Fibonacciego). Arytmetyka modulo n. Proste równania różnicowe. Pochodna ciągu. Różnice skończone dla ciągów wielomianowych i wykładniczych. Przechodzenie od wzorów indukcyjnych (rekurencyjnych) do jawnych. Funkcje tworzące. Przykłady z ekonomii. Liczby zespolone. Postać algebraiczna i trygonometryczna. Działania. Wzór DeMoivre’a. Równania kwadratowe w ciele liczb zespolonych. Pierwiastki dowolnego stopnia z liczb zespolonych, pierwiastki z jedności. Zastosowanie liczb zespolonych w geometrii. Macierze. Dodawanie i odejmowanie; mnożenie przez skalar. Operacje elementarne. Sprowadzanie do postaci schodkowej (trójkątnej) Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą eliminacji. Algorytm Gaussa, dowód, że działa on w czasie n^3 . Metoda wyznacznikowa dla układów oznaczonych 2 na 2 i 3 na 3 . Algebra macierzy i (niewyznacznikowe) algorytmy wyznaczania macierzy odwrotnej. Rozwiązywanie układów równań przez wyznaczanie macierzy odwrotnej. Wyznacznik macierzy. Definicja, metody obliczania: rozwinięcie Laplace’a, operacje elementarne na wierszach i kolumnach, schemat Sarrusa). Kryteria wyznacznikowe niezależności wektorów. Wzory Cramera. Macierz odwrotna i wyznaczanie jej za pomocą dopełnień algebraicznych. Elementy geometrii analitycznej przestrzeni Rn . Równanie linii prostej na płaszczyźnie, wektor normalny, wektor kierunkowy, równanie kierunkowe. Przedstawienie parametryczne prostej w przestrzeni. Prosta jako część wspólna płaszczyzn. Przestrzenie liniowe. Definicja. Przykłady. Liniowa zależność i niezależność wektorów. Podprzestrzeń rozpięta przez układ wektorów. Baza i wymiar przestrzeni liniowych. Współrzędne wektora w bazie. Zmiana bazy. Zmiana współrzędnych wektora przy zmianie bazy (wzory). Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera – Capelli. Przedstawienie parametryczne przestrzeni rozwiązań układu równań liniowych. Przekształcenia liniowe (określone przez macierz). Różne rodzaje przekształceń liniowych. Macierz obrotu (w R2 i R3), symetrii, rzutowania. jednokładności. Macierz izometrii. Wyznaczanie obrazu i przeciwobrazu. Wartości i wektory własne. Wielomian charakterystyczny. Podprzestrzenie niezmiennicze. Krotność wartości własnych (algebraiczna i geometryczna). Macierz przekształcenia w bazie złożonej z wektorów własnych. Algorytmy poszukiwania wartości własnych.

Literatura podstawowa
1. Leitner R.: Zarys matematyki wyższej dla studentów. WNT (2003): część 1, rozdziały 1, 2, 3, 5.
2. Jurlewicz T., Skoczylas Z.: Algebra liniowa. Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2002: część 1, część 2.

Literatura uzupełniająca
1. Leitner R., Matuszewski W., Rojek Z.: Zadania z matematyki wyższej. WNT 1992-2002.
2. Jurlewicz T., Skoczylas Z.: Algebra liniowa. Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2002: część 1, część 2 (zbiór zadań do poz.8.2)
3. Mostowski A., Stark M.: Algebra liniowa, PWN 1995.

Punkty ECTS
5 - niestacjonarne,
5 - stacjonarne

Rodzaje studiów, na których przedmiot jest realizowany
niestacjonarne - 1-go stopnia (inż.),
stacjonarne - 1-go stopnia (inż.)

Specjalności, na których przedmiot jest realizowany
Informatyka w telekomunikacji,
Bazy danych,
Inżynieria oprogramowania,
Komputerowe wspomaganie grafiki,
Sieci komputerowe

Prowadzący
dr Andrzej Strojnowski, dr Arkadiusz Salwa, dr Barbara Terlikowska-Osłowska, dr Dorota Niewieczerzał, dr hab. Mariusz Koras, dr hab. Michał Szurek, dr Piotr Nowak, mgr inż. Jarosław Korzeń, mgr Marcin Stalij