Katalog przedmiotów

Analiza matematyczna 2

Cele
Celem kształcenia jest przekazanie i ugruntowanie wiedzy z zakresu szeregów (liczbowych i funkcyjnych), funkcji wielu zmiennych (zbiory, granica i ciągłość, rachunek różniczkowy i całkowy funkcji dwóch zmiennych i trzech zmiennych) oraz równań różniczkowych zwyczajnych. Zajęcia (wykład i ćwiczenia) są nastawione na gruntowne zrozumienie i przyswojenie podstawowych pojęć i procesów obliczeniowych, sprawnego posługiwania się nimi (ćwiczenia) oraz wyrobienia umiejętności poprawnego rozumowania i wnioskowania.

Zakres
Sumy częściowe, zbieżność szeregu. Warunek konieczny zbieżności szeregu. Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych: kryterium d'Alemberta, Cauchy'ego, porównawcze. Szeregi geometryczne. Zbieżność szeregu Dirichleta. Szeregi o wyrazach naprzemiennych: kryterium zbieżności Leibniza. Szeregi o wyrazach dowolnych: zbieżność bezwzględna i zbieżność warunkowa. Szeregi funkcyjne i potęgowe. Zbieżność jednostajna szeregu fukcyjnego – twierdzenie Weierstrassa. Promień zbieżności i przedział zbieżności. Całkowanie i różniczkowanie szeregu potęgowego. Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy Taylora i Maclaurina. Obliczanie sum szeregów liczbowych w oparciu o rozwinięcie funkcji w szeregi potęgowe. Otoczenie i sąsiedztwo punktu w Rn. Zbieżność ciągów w przestrzeni R2. Dziedzina i wykres funkcji dwóch zmiennych. Zbiory poziomicowe. Definicja granicy funkcji w punkcie w sensie Heinego. Granice iterowane. Ciągłość funkcji. Pochodne cząstkowe, kierunkowe i różniczki dwóch zmiennych. Twierdzenie Schwarza o równości pochodnych mieszanych. Gradient funkcji w punkcie. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Wzór Taylora z drugą różniczką. Wyznaczanie przybliżonych wartości wyrażeń. Definicja ekstremów lokalnych. Warunek konieczny istnienia ekstremum. Warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych. Twierdzenie Weierstrassa o kresach. Znajdowanie wartości największej i najmniejszej funkcji dwóch zmiennych na zbiorze zwartym. Pochodne cząstkowe, kierunkowe i różniczki funkcji trzech zmiennych. Wzór Taylora z drugą różniczką. Wyznaczanie przybliżonych wartości wyrażeń. Funkcje uwikłane jednej zmiennej. Pierwsza i druga pochodna funkcji uwikłanej. Ekstremum funkcji uwikłanej. Ekstrema warunkowe funkcji dwóch i trzech zmiennych. Przedstawienia parametryczne krzywych na płaszczyźnie i w przestrzeni. Podstawowe powierzchnie: sfera, walec, stożek, paraboloida obrotowa i hiperboloida jedno i dwupowłokowa. Opis obszarów na płaszczyźnie we współrzędnych biegunowych. Definicja całki podwójnej w prostokącie. Twierdzenie o całkowalności. Wartość średnia i twierdzenie całkowe o wartości średniej. Twierdzenie o zamianie na całkę iterowaną. Całka podwójna po obszarze normalnym. Zamiana zmiennych w całce podwójnej. Odwzorowanie obszaru, jakobian. Całka podwójna w układzie biegunowym. Obliczanie pól i objętości figur i brył za pomocą całki podwójnej. Zastosowania całek podwójnych - pole płata. Definicja całki potrójnej w prostopadłościanie. Twierdzenie o zamianie na całkę iterowaną. Całka potrójna po bryle normalnej. Zamiana zmiennych. Całka potrójna we współrzędnych walcowych i sferycznych. Zastosowania geometryczne całki potrójnej – objętości brył i środki ciężkości. Całki krzywoliniowe nieskierowane i skierowane. Twierdzenie Greena. Niezależność całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania. Potencjał pola wektorowego. Równania różniczkowe pierwszego rzędu. Rozwiązanie ogólne i szczególne. Warunki początkowe. Istnienie i jednoznaczność rozwiązania. Równania o zmiennych rozdzielonych i sprowadzalne do nich. Równania liniowe rzędu 1 jednorodne. Twierdzenie o istnieniu rozwiązań. Rozwiązanie ogólne. Równania liniowe niejednorodne. Metoda uzmienniania stałej. Równania liniowe jednorodne rzędu m o stałych współczynnikach – metoda przewidywań.

Literatura podstawowa
1. R. Leitner: Zarys matematyki wyższej, cz.I i II, WNT

Literatura uzupełniająca
1. R. Leitner, W. Matuszewski, Z. Rojek: Zadania z matematyki wyższej, cz. I i II, WNT
2. W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I i II, PWN

Punkty ECTS
5 - niestacjonarne,
5 - stacjonarne

Rodzaje studiów, na których przedmiot jest realizowany
niestacjonarne - 1-go stopnia (inż.),
stacjonarne - 1-go stopnia (inż.)

Specjalności, na których przedmiot jest realizowany
Informatyka w telekomunikacji,
Bazy danych,
Inżynieria oprogramowania,
Komputerowe wspomaganie grafiki,
Sieci komputerowe

Prowadzący
dr Anna Dembińska, dr Fryderyk Unton, dr Grażyna Grygiel, dr hab. Andrzej Walendziak, dr hab. Ewa Bednarczuk, prof. Andrzej Fryszkowski